Një funksion racional është një ekuacion që merr formën y = N (x)/D (x) ku N dhe D janë polinome. Përpjekja për të skicuar një grafik të saktë të njërës me dorë mund të jetë një përmbledhje gjithëpërfshirëse e shumë prej temave më të rëndësishme të matematikës së shkollës së mesme nga algjebra bazë në llogaritjen diferenciale. Konsideroni shembullin e mëposhtëm: y = (2 x 2 - 6 x + 5)/(4 x + 2).
Hapa
Hapi 1. Gjeni përgjimin y
Thjesht vendosni x = 0. Gjithçka përveç termave konstante zhduket, duke lënë y = 5/2. Shprehja e kësaj si një çift koordinativ, (0, 5/2) është një pikë në grafik. Grafikoni atë pikë.
Hapi 2. Gjeni asimptotën horizontale
Ndani gjatë emëruesin në numërues për të përcaktuar sjelljen e y për vlera të mëdha absolute të x. Në këtë shembull, ndarja tregon se y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Për vlera të mëdha pozitive ose negative të x, 17/(8 x + 4) i afrohet zeros, dhe grafiku i afrohet vijës y = (1/2) x - (7/4). Duke përdorur një vijë të thyer ose të vizatuar lehtë, grafikoni këtë vijë.
- Nëse shkalla e numëruesit është më e vogël se shkalla e emëruesit, nuk ka ndarje për të bërë, dhe asimptota është y = 0.
- Nëse deg (N) = deg (D), asimptota është një vijë horizontale në raportin e koeficientëve kryesorë.
- Nëse deg (N) = deg (D) + 1, asimptota është një vijë pjerrësia e së cilës është raporti i koeficientëve kryesorë.
- Nëse deg (N)> deg (D) + 1, atëherë për vlera të mëdha të | x |, y shkon shpejt në pafundësi pozitive ose negative si një polinom kuadratik, kub ose më i lartë. Në këtë rast, ndoshta nuk ia vlen të përshkruhet me saktësi herësi i ndarjes.
Hapi 3. Gjeni zero
Një funksion racional ka një zero kur numëruesi i tij është zero, kështu që vendosni N (x) = 0. Në shembullin, 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. Diskriminuesi i këtij kuadrati është b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Meqenëse diskriminuesi është negativ, N (x), dhe rrjedhimisht f (x), nuk ka rrënjë të vërteta. Grafiku nuk e kalon kurrë boshtin x. Nëse janë gjetur zero, shtoni ato pika në grafik.
Hapi 4. Gjeni asimptotat vertikale
Një asimptotë vertikale ndodh kur emëruesi është zero. Vendosja e 4 x + 2 = 0 jep vijën vertikale x = -1/2. Grafikoni çdo asimptotë vertikale me një vijë të lehtë ose të thyer. Nëse ndonjë vlerë e x e bën N (x) = 0 dhe D (x) = 0, mund të ketë ose jo një asimptotë vertikale atje. Kjo është e rrallë, por shikoni këshillat se si ta trajtoni atë nëse ndodh.
Hapi 5. Shikoni pjesën e mbetur të ndarjes në hapin 2
Kur është pozitiv, negativ ose zero? Në shembullin, numëruesi i pjesës së mbetur është 17, i cili është gjithmonë pozitiv. Emëruesi, 4 x + 2, është pozitiv në të djathtë të asimptotës vertikale dhe negativ në të majtë. Kjo do të thotë që grafiku i afrohet asimptotës lineare nga sa më sipër për vlera të mëdha pozitive të x dhe nga poshtë për vlera të mëdha negative të x. Meqenëse 17/(8 x + 4) nuk mund të jetë kurrë zero, ky grafik nuk e pret kurrë vijën y = (1/2) x - (7/4). Mos shtoni asgjë në grafik tani, por vini re këto përfundime për më vonë.
Hapi 6. Gjeni ekstremat lokale
Një ekstrem lokal mund të ndodhë sa herë që N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. Në shembullin, N '(x) = 4 x - 6 dhe D' (x) = 4. N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Zgjerimi, kombinimi i termave dhe pjesëtimi me 4 gjethe x 2 + x - 4 = 0. Formula kuadratike tregon rrënjët pranë x = 3/2 dhe x = -5/2. (Këto ndryshojnë me rreth 0.06 nga vlerat e sakta, por grafiku ynë nuk do të jetë aq i saktë sa të shqetësohemi për atë nivel detajesh. Zgjedhja e një përafrimi racional të arsyeshëm e bën hapin tjetër më të lehtë.)
Hapi 7. Gjeni vlerat y të çdo ekstremumi lokal
Lidheni vlerat x nga hapi i mëparshëm përsëri në funksionin origjinal racional për të gjetur vlerat përkatëse y. Në shembull, f (3/2) = 1/16 dhe f (-5/2) = -65/16. Shtoni këto pika, (3/2, 1/16) dhe (-5/2, -65/16), në grafik. Meqenëse u përafruam në hapin e mëparshëm, këto nuk janë minima dhe maksima të sakta, por ndoshta janë afër. (Ne e dimë (3/2, 1/16) është shumë afër minimumit lokal. Nga hapi 3, ne e dimë që y është gjithmonë pozitiv kur x> -1/2 dhe kemi gjetur një vlerë aq të vogël sa 1/16, kështu që të paktën në këtë rast, gabimi është ndoshta më i vogël se trashësia e vijës.)
Hapi 8. Lidhni pikat dhe shtrini pa probleme grafikun nga pikat e njohura në asimptotat duke u kujdesur t'i afroheni nga drejtimi i duhur
Kini kujdes që të mos e kaloni boshtin x përveç në pikat e gjetura tashmë në hapin 3. Mos e kaloni asimptotën horizontale ose lineare përveç në pikat e gjetura tashmë në hapin 5. Mos ndryshoni nga pjerrësi lart në pjerrësi poshtë, përveç në ekstremi i gjetur në hapin e mëparshëm.
Video - Duke përdorur këtë shërbim, disa informacione mund të ndahen me YouTube
Këshilla
- Disa nga këto hapa mund të përfshijnë zgjidhjen e një polinomi të shkallës së lartë. Nëse nuk mund të gjeni zgjidhje të sakta përmes faktorizimit, formulave ose mjeteve të tjera, atëherë vlerësoni zgjidhjet duke përdorur teknika numerike siç është metoda e Njutonit.
- Nëse ndiqni hapat me radhë, zakonisht nuk është e nevojshme të përdorni teste të dyta derivative ose metoda të ngjashme potencialisht të komplikuara për të përcaktuar nëse vlerat kritike janë maksima lokale, minimale lokale, ose asnjëra. Mundohuni të përdorni informacionin nga hapat e mëparshëm dhe pak logjikë së pari.
- Nëse po përpiqeni ta bëni këtë vetëm me metoda precalculus, mund të zëvendësoni hapat për gjetjen e ekstremave lokale duke llogaritur disa çifte të renditura shtesë (x, y) midis secilës palë asimptotash. Përndryshe, nëse nuk ju intereson pse funksionon, nuk ka asnjë arsye pse një student parakalkulus nuk mund të marrë derivatin e një polinomi dhe të zgjidhë N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0
-
Në raste të rralla, numëruesi dhe emëruesi mund të kenë një faktor të përbashkët jo konstant. Nëse po ndiqni hapat, kjo do të shfaqet si një asimptotë zero dhe vertikale në të njëjtin vend. Kjo është e pamundur dhe ajo që ndodh në të vërtetë është një nga sa vijon:
- Zeroja në N (x) ka shumëfishim më të madh se zero në D (x). Grafiku i f (x) i afrohet zeros në këtë pikë, por është i papërcaktuar atje. Tregojeni këtë me një rreth të hapur rreth pikës.
- Zeroja në N (x) dhe zero në D (x) kanë shumëllojshmëri të barabartë. Grafiku i afrohet një pike jo-zero për këtë vlerë të x, por nuk është e përcaktuar atje. Tregojeni përsëri këtë me një rreth të hapur.
- Zeroja në N (x) ka shumëfishim më të ulët se zero në D (x). Këtu ka një asimptotë vertikale.
