Si të grafikoni një ekuacion kuadratik: 10 hapa (me fotografi)

2024 Autor: Robert Blare | [email protected]. E modifikuara e fundit: 2024-02-02 02:08

Kur grafikohet, ekuacionet kuadratike të formës sëpatë² + bx + c ose a (x - h)² + k jepni një kurbë të lëmuar në formë U ose të kundërt në formë U të quajtur parabolë. Grafikimi i një ekuacioni kuadratik është një çështje për të gjetur kulmin, drejtimin dhe, shpesh, përgjimet e tij x dhe y. Në rastet e ekuacioneve relativisht të thjeshta kuadratike, mund të jetë e mjaftueshme të futni një sërë vlerash x dhe të vizatoni një kurbë bazuar në pikat që rezultojnë. Shihni Hapi 1 më poshtë për të filluar.

Hapa

Hapi 1. Përcaktoni cilën formë të ekuacionit kuadratik keni

Ekuacioni kuadratik mund të shkruhet në tri forma të ndryshme: forma standarde, forma e kulmit dhe forma kuadratike. Ju mund të përdorni secilën formë për të grafikuar një ekuacion kuadratik; procesi për grafikimin e secilit është paksa i ndryshëm. Nëse jeni duke bërë një problem të detyrave të shtëpisë, zakonisht do ta merrni problemin në njërën nga këto dy forma - me fjalë të tjera, nuk do të jeni në gjendje të zgjidhni, kështu që është më mirë t'i kuptoni të dyja. Dy format e ekuacionit kuadratik janë:

• Forma standarde.

  Në këtë formë, ekuacioni kuadratik shkruhet si: f (x) = ax² + bx + c ku a, b dhe c janë numra realë dhe a nuk është i barabartë me zero.

  Për shembull, dy ekuacione kuadratike të formës standarde janë f (x) = x² + 2x + 1 dhe f (x) = 9x² + 10x -8.

• Forma vertikale.

  Në këtë formë, ekuacioni kuadratik shkruhet si: f (x) = a (x - h)² + k ku a, h dhe k janë numra realë dhe a nuk është e barabartë me zero. Forma vertikale është quajtur kështu sepse h dhe k ju japin drejtpërdrejt kulmin (pika qendrore) e parabolës suaj në pikën (h, k).

  Dy ekuacione të formës kulm janë f (x) = 9 (x - 4)² + 18 dhe -3 (x - 5)² + 1

• Për të grafikuar njërën nga këto lloje ekuacionesh, së pari duhet të gjejmë kulmin e parabolës, e cila është pika qendrore (h, k) në "majën" e kurbës. Koordinatat e kulmit në formë standarde jepen nga: h = -b/2a dhe k = f (h), ndërsa në formën e kulmit, h dhe k specifikohen në ekuacion.

Hapi 2. Përcaktoni variablat tuaja

Për të qenë në gjendje për të zgjidhur një problem kuadratik, zakonisht duhet të përcaktohen ndryshoret a, b dhe c (ose a, h dhe k). Një problem mesatar i algjebrës do t'ju japë një ekuacion kuadratik me variablat e plotësuar, zakonisht në formë standarde, por nganjëherë në formë kulmi.

• Për shembull, për formën standarde ekuacioni f (x) = 2x² + 16x + 39, kemi a = 2, b = 16, dhe c = 39.
• Për ekuacionin e formës kulmore f (x) = 4 (x - 5)² + 12, kemi a = 4, h = 5 dhe k = 12.

Hapi 3. Njehso h

Në ekuacionet e formës kulm, vlera juaj për h është dhënë tashmë, por në ekuacionet e formës standarde, ajo duhet të llogaritet. Mos harroni se, për ekuacionet e formës standarde, h = -b/2a.

• Në formën tonë standarde shembull (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Duke zgjidhur, gjejmë se h = - 4.
• Në shembullin tonë të formës kulmore (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ne e dimë h = 5 pa bërë ndonjë matematikë.

Hapi 4. Njehso k

Ashtu si me h, k tashmë njihet në ekuacionet e formës kulmore. Për ekuacionet e formës standarde, mbani mend se k = f (h). Me fjalë të tjera, ju mund të gjeni k duke zëvendësuar çdo shembull të x në ekuacionin tuaj me vlerën që sapo keni gjetur për h.

• Ne kemi përcaktuar në shembullin tonë të formës standarde që h = -4. Për të gjetur k, ne zgjidhim ekuacionin tonë me vlerën tonë për h duke zëvendësuar x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Hapi 7.

• Në shembullin tonë të formës kulmore, përsëri, ne e dimë vlerën e k (e cila është 12) pa pasur nevojë të bëjmë ndonjë matematikë.

Hapi 5. Hartoni kulmin tuaj

Kulmi i parabolës suaj do të jetë pika (h, k) - h përcakton koordinatën x, ndërsa k specifikon koordinatën y. Kulmi është pika qendrore në parabolën tuaj - ose fundi i një "U" ose maja e një "U." me kokë poshtë. Njohja e kulmit është një pjesë thelbësore e paraqitjes së një parabole të saktë - shpesh, në detyrat e shkollës, përcaktimi i kulmit do të jetë një pjesë e kërkuar e një pyetjeje.

• Në shembullin tonë të formës standarde, kulmi ynë do të jetë në (-4, 7). Pra, parabola jonë do të arrijë kulmin 4 hapësira në të majtë të 0 dhe 7 hapësirave sipër (0, 0). Ne duhet ta vendosim këtë pikë në grafikun tonë, duke qenë të sigurt për të etiketuar koordinatat.
• Në shembullin tonë të formës kulmore, kulmi ynë është në (5, 12). Ne duhet të vizatojmë një pikë 5 hapësira në të djathtë dhe 12 hapësira sipër (0, 0).

Hapi 6. Vizatoni boshtin e parabolës (sipas dëshirës)

Boshti i simetrisë së parabolës është vija që kalon në mes të saj, e cila e ndan atë në mënyrë të përsosur në gjysmë. Përtej këtij aksi, ana e majtë e parabolës do të pasqyrojë anën e djathtë. Për kuadratikët e formës së sëpatës² + bx + c ose a (x - h)² + k, boshti është një vijë paralele me boshtin y (me fjalë të tjera, krejtësisht vertikale) dhe që kalon nëpër kulm.

Në rastin e shembullit tonë të formës standarde, boshti është një vijë paralele me boshtin y dhe që kalon nëpër pikën (-4, 7). Megjithëse nuk është pjesë e vetë parabolës, shënimi i lehtë i kësaj linje në grafikun tuaj mund t'ju ndihmojë përfundimisht të shihni se si parabola lakohet në mënyrë simetrike

Hapi 7. Gjeni drejtimin e hapjes

Pasi të kemi kuptuar kulmin dhe boshtin e parabolës, ne më pas duhet të dimë nëse parabola hapet lart ose poshtë. Për fat të mirë, kjo është e lehtë. Nëse "a" është pozitive, parabola do të hapet lart, ndërsa nëse "a" është negative, parabola do të hapet poshtë (d.m.th., do të kthehet përmbys.)

• Për shembullin tonë të formës standarde (f (x) = 2x² + 16x + 39), ne e dimë që kemi një parabolë që hapet lart sepse, në ekuacionin tonë, a = 2 (pozitiv).
• Për shembullin e formës sonë kulmore (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), ne e dimë që kemi gjithashtu një parabolë që hapet lart sepse a = 4 (pozitiv).

Hapi 8. Nëse është e nevojshme, gjeni dhe vizatoni x përgjimet

Shpesh, në detyrat e shkollës, do t'ju kërkohet të gjeni përgjimet x të një parabole (të cilat janë ose një ose dy pika ku parabola takon boshtin x). Edhe nëse nuk do t'i gjeni, këto dy pika mund të jenë të paçmueshme për të nxjerrë një parabolë të saktë. Sidoqoftë, jo të gjitha parabolat kanë x-përgjime. Nëse parabola juaj ka një kulm hapet lart dhe ka një kulm mbi boshtin x ose nëse hapet poshtë dhe ka një kulm nën boshtin x, nuk do të ketë asnjë përgjimMe Përndryshe, zgjidhni përgjimet tuaja x me një nga metodat e mëposhtme:

• Thjesht vendosni f (x) = 0 dhe zgjidhni ekuacionin. Kjo metodë mund të funksionojë për ekuacione të thjeshta kuadratike, veçanërisht në formë kulmi, por do të jetë tepër e vështirë për ato më të komplikuara. Shikoni më poshtë për një shembull

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • SqRt (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 dhe 13 janë përgjimet x të parabolës.

• Faktorizoni ekuacionin tuaj. Disa ekuacione në sëpatë² forma + bx + c mund të faktorizohet lehtësisht në formën (dx + e) (fx + g), ku dx × fx = sëpatë², (dx × g + fx × e) = bx, dhe e × g = c Në këtë rast, përgjimet tuaja x janë vlerat për x të cilat bëjnë secilin term në kllapa = 0. Për shembull:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • Në këtë rast, përgjimi juaj i vetëm x është -1 sepse vendosja e x e barabartë me -1 do të bëjë njërën nga termat e faktorizuar në kllapa të barabartë me 0.

• Përdorni formulën kuadratike. Nëse nuk mund të zgjidhni me lehtësi për përgjimet tuaja x ose të faktorizoni ekuacionin tuaj, përdorni një ekuacion të veçantë të quajtur formula kuadratike e krijuar për këtë qëllim. Nëse nuk është tashmë, futeni ekuacionin tuaj në boshtin e formës² + bx + c, pastaj futni a, b dhe c në formulën x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac))/2a. Vini re se kjo shpesh ju jep dy përgjigje për x, që është në rregull - kjo do të thotë që parabola juaj ka dy x përgjime. Shihni më poshtë për një shembull:

  • -5x² + 1x + 10 lidhet me formulën kuadratike si më poshtë:
  • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- SqRt (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14.18)/-10
  • x = (13.18/-10) dhe (-15.18/-10). Ndërprerjet x të parabolës janë afërsisht x = - 1.318 dhe 1.518
  • Shembulli ynë i mëparshëm i formës standarde, 2x² + 16x + 39 lidhet me formulën kuadratike si më poshtë:
  • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- SqRt (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- SqRt (-56)/-10
  • Për shkak se gjetja e rrënjës katrore të një numri negativ është e pamundur, ne e dimë këtë nuk ka x përgjime ekzistojnë për këtë parabolë të veçantë.

Hapi 9. Nëse është e nevojshme, gjeni dhe vizatoni përgjimin y

Megjithëse shpesh nuk është e nevojshme të gjesh ndërprerjen y të ekuacionit (pika në të cilën parabola kalon nëpër boshtin y), mund të të kërkohet përfundimisht, veçanërisht nëse je në shkollë. Ky proces është mjaft i lehtë - thjesht vendosni x = 0, pastaj zgjidhni ekuacionin tuaj për f (x) ose y, i cili ju jep vlerën y në të cilën parabola juaj kalon nëpër boshtin y. Ndryshe nga përgjimet x, parabolat standarde mund të kenë vetëm një interceptim y. Shënim - për ekuacionet e formës standarde, ndërprerja y është në y = c.

• Për shembull, ne e njohim ekuacionin tonë kuadratik 2x² + 16x + 39 ka një ndërprerje y në y = 39, por gjithashtu mund të gjendet si më poshtë:

  • f (x) = 2x² + 16x + 39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Ndërprerja y e parabolës është në y = 39.

    Siç u tha më lart, ndërprerja y është në y = c.

• Kulmi ynë formon ekuacionin 4 (x - 5)² + 12 ka një ndërprerje y që mund të gjendet si më poshtë:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Ndërprerja y e parabolës është në y = 112.

Hapi 10. Nëse është e nevojshme, vizatoni pika shtesë, pastaj grafikoni

Tani duhet të keni një kulm, drejtim, x interceptim (a) dhe, ndoshta, një interceptim y për ekuacionin tuaj. Në këtë pikë, ose mund të përpiqeni të vizatoni parabolën tuaj duke përdorur pikat që keni si udhëzues, ose mund të gjeni më shumë pikë për të "mbushur" parabolën tuaj në mënyrë që kurba që vizatoni të jetë më e saktë. Mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është thjesht të lidhni disa vlera x në të dyja anët e kulmit tuaj, pastaj vizatoni këto pika duke përdorur vlerat y që merrni. Shpesh, mësuesit do t'ju kërkojnë të merrni një numër të caktuar pikësh para se të vizatoni parabolën tuaj.

• Le të rishikojmë ekuacionin x² + 2x + 1. Ne tashmë e dimë se përgjimi i tij i vetëm x është në x = -1. Për shkak se prek vetëm prerjen x në një pikë, mund të konkludojmë se kulmi i tij është ndërprerja e tij x, që do të thotë se kulmi i tij është (-1, 0). Ne kemi efektivisht vetëm një pikë për këtë parabolë - jo aq sa duhet për të nxjerrë një parabolë të mirë. Le të gjejmë disa të tjera për të siguruar që të vizatojmë një grafik të saktë.

  • Le të gjejmë vlerat y për vlerat e mëposhtme x: 0, 1, -2 dhe -3.
  • Për 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Pika jonë është (0, 1).

  • Për 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Pika jonë është (1, 4).

  • Për -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Pika jonë është (-2, 1).

  • Për -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Pika jonë është (-3, 4).

  • Plotësoni këto pika në grafik dhe vizatoni kurbën tuaj në formë U. Vini re se parabola është krejtësisht simetrike - kur pikat tuaja në njërën anë të parabolës shtrihen në numra të plotë, zakonisht mund të kurseni disa punë duke reflektuar thjesht një pikë të caktuar përgjatë boshtit të simetrisë së parabolës për të gjetur pikën përkatëse në anën tjetër e parabolës.

Video - Duke përdorur këtë shërbim, disa informacione mund të ndahen me YouTube

Këshilla

• Vini re se në f (x) = ax² + bx + c, nëse b ose c është e barabartë me zero, ata numra zhduken. Për shembull, 12 herë² + 0x + 6 bëhet 12x² + 6 sepse 0x është 0.
• Rrumbullakoni numrat ose përdorni thyesat siç ju thotë mësuesi juaj i algjebrës. Kjo do t'ju ndihmojë të grafikoni ekuacionet tuaja kuadratike siç duhet.